Математика, Вестник СамГУ, 2007, № 7

Выпуск журнала содержит статьи, представленные на
“Международную конференцию по алгебре и теории чисел”,
посвященную 80-летию проф. В.Е. Воскресенского
(21-25 мая 2007 г., г. Самара, Самарский государственный университет)

Работа представляет собой текст доклада автора на Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007). Рассказано о вычислениях в группах Шевалле G(Φ, R) над коммутативным кольцом. Сформулированы недавние результаты А. Бака, Р. Хазрата и автора о нильпотентной структуре K₁(Φ, R), опирающиеся на метод smc-локализации-пополнения. Детально описываются геометрические методы доказательства структурных теорем, как развитый в 1990 году А. Степановым, автором и Е. Плоткиным метод smc-разложения унипотентов, так и предложенное совсем недавно автором, М. Гавриловичем и С. Николенко доказательство из Книги ≈ A₂— доказательство. Кроме того, сформулированы некоторые близкие результаты, в частности, основная лемма A₃ — доказательства, предложенного автором для атаки на центральность K₂(Φ, R) в случае исключительных групп; найденная автором и А. Лузгаревым характеризация расширенной группы Шевалле типа E₆ над произвольным коммутативным кольцом; доказанная А. Степановым и автором конечность ширины коммутаторов в элементарных образующих

В статье изучаются суммы Шимуры для арифметических функций. В ряде случаев получены точные формулы, исследовались связи между суммами Шимуры для различных функций, доказаны некоторые арифметические тождества. Суммы Шимуры появились в формулах теории модулярных форм полуцелого веса, но их можно изучать для арифметических функций любой природы.

В данной работе изучается строение унитарно замкнутого T-пространства W_n , порожденного всеми n-словами в относительно свободной алгебре , где k — бесконечное поле характеристики p>0, а I — T-идеал, порожденный многочленом [[x₁, x₂], x₃]. В W_n указана бесконечная неприводимая система порождающих. В связи с этим рассмотрены бесконечные серии бесконечно базируемых T-подпространств в W_n . Выявлена особенность случая p=2. Кроме того, исследуется мультипликативная структура T-пространства W_n.

Дается обзор арифметических свойств количества представлений натуральных чисел многоклассными бинарными положительно определенными квадратичными формами. Рассмотрены двуклассные, трехклассные, четырехклассные формы, а так же циклические формы произвольного порядка.

В работе получена классификация всех разложений алгебры Ли sl(3, C) в сумму двух пространств таких, что каждое из них является подалгеброй Ли. Классификация реализована с точностью до действия группы автоморфизмов. Решение сформулированной задачи дает классификацию решений MYBE для sl(3, C), представимых как разность двух проекторов.

В работе исследуются свойства частично упорядоченных алгебр Ли над различными полями. Приведены примеры направленных, решеточно упорядоченных и линейно упорядоченных алгебр Ли. Получен ряд результатов, касающихся свойств l-идеалов решеточно упорядоченных алгебр Ли над частично упорядоченным полем.

В работе рассматриваются одномерные квазипериодические разбиения, которые определяются на основе подхода, использующего иррациональные повороты окружности. Получено полное описание широкого класса прогрессий, вкладывающихся в данные разбиения.

Для всякого трехмерного алгебраического k-тора T, мы находим минимальное натуральное n(T), для которого существует регулярное вложение T GL_n(T),k. Мы описываем это вложение и получаем реализацию T как аффинного многообразия в .

Рассмотрен аналог аддитивной проблемы делителей. Получена асимптотическая формула для числа решений уравнения с квадратичными формами.

Найдено точное изопериметрическое неравенство для графа специального вида.

В статье излагается теория гомологий толерантных пространств, пригодная для построения спектральных последовательностей толерантных расслоений.

В работе изучается присоединенное действие треугольной группы на нильрадикале параболической подалгебры. Поставлены общие гипотезы о строении поля инвариантов и структуре орбит максимальной размерности. Гипотезы проверены для параболических подалгебр специального вида.

В работе изучается многообразие алгебр Лейбница C, определяемых тождеством x(yz)t≡0 над полем характеристики 0. Описаны некоторые свойства многообразия C. В качестве следствия мы доказываем, что если выполняется условие , то многообразие V нильпотентно, где B — многообразие алгебр Лейбница, определяемых тождеством x(yz)≡0.

В работе получены точные по порядку оценки остаточного члена проблемы распределения дробных долей nα на интервалах ограниченного остатка.

В работе дан обзор теорем универсальности для L-функций эллиптических кривых над полем рациональных чисел, а также для их производных.

В работе дан обзор некоторых вероятностных результатов и их приложений к универсальности обобщенных рядов Дирихле.

Цель статьи — дать обзор результатов В.Е. Воскресенского по арифметическим и бирациональным свойствам алгебраических торов, получивших наибольшее развитие в его монографии, опубликованной 30 лет назад. Я постараюсь представить эти результаты и идеи в некотором общем контексте, а также дать краткий обзор продвижений в этой области после выхода английской версии монографии.

В работе представлен обзор следующих результатов: оценки главных значений, распределение нулей, универсальные и предельные теоремы в смысле слабой сходимости вероятностных мер дзета-функции Эстерманна.

Работа содержит обзор непрерывных и дискретных теорем универсальности для периодических дзета-функций. Приводится схема доказательства в случае дискретной универсальности для периодической дзета-функции Гурвица. Кроме того, рассмотрены обобщения для периодических дезта-функций Гурвица.